滚动相关性（Rolling Correlation）模块说明文档

1. 功能简介

滚动相关性模块用于计算两个时间序列之间的相关性，并以滑动窗口的形式随时间更新。
常见应用：在实盘或回测中，跟踪“标的收益率变化（und_change）”与“隐含波动率变化（vol_change）”的关系。

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2. 输入与输出

• 输入

  • 两个时间序列 $\{x_t\}, \{y_t\}$，按时间顺序排列
    • 示例：$x_t = \text{und\_change}_{t-1}$，$y_t = \text{vol\_change}_{t-1}$
  • 窗口长度 window_size（整数，必须 ≥1）
  • 最小有效样本比例 min_sample_ratio（整数，必须 ≤ window_size）
  • 缺失值处理策略（跳过/传播 NaN）

• 输出

  • 对每个时点 $t$，输出该时点窗口内的相关系数 corr_t
  • 若有效样本数 < window_size*min_sample_ratio（向下取整），则输出 NaN（处于 warm-up 阶段）

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3. 状态管理

滚动相关性是一个 滑动窗口统计量，需要维护以下状态：

• 窗口内的有效样本对集合 $(x_i,y_i)$
• 窗口的样本和/平方和/交叉乘和：
  • $\sum x_i,\ \sum y_i,\ \sum x_i^2,\ \sum y_i^2,\ \sum x_i y_i$
• 当前有效样本数 n_eff

这些统计量支持增量更新：

• 加入新样本 $(x_t,y_t)$
• 移除过期样本 $(x_{t-w},y_{t-w})$
• 在线更新上述和与平方和，避免重复遍历整个窗口

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4. 计算流程

1. 接收新样本对 $(x_t,y_t)$

   • 如果其中一方缺失：
     • Propagate：本时点输出 NaN。

2. 加入窗口并更新统计量

   • 将 $(x_t,y_t)$ 添加到滑窗末尾
   • 更新和/平方和/交叉乘和
   • 若窗口长度超过 window_size，移除最早的样本并同步更新统计量

3. 检查有效样本数 n_eff

   • 若 n_eff < min_samples → 输出 NaN（warm-up 阶段）
   • 否则进入相关性计算

4. 计算相关系数
   在窗口内：

   $$\rho = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

   其中：

   • $\bar{x} = \sum x_i / n$
   • $\bar{y} = \sum y_i / n$

5. 输出结果

   • 返回当前时点的相关性 $\rho_t$
   • 存入结果序列，以便下游模块使用（如信号判定）

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5. 特点与边界条件

• 窗口独立性：不同到期日（expiration）可各自维护独立的滚动相关性，不会交叉污染。
• warm-up 阶段：若不足 min_samples，输出 NaN；一旦达标，持续输出。
• 缺失值：本策略使用Propagate方法处理。
• 效率：
  • 时间复杂度：O(1)（每步只更新增量和移除过期项）
  • 空间复杂度：O(window_size)（需存储窗口内样本或统计量）
• 稳定性：在 $x$ 或 $y$ 方方差为零时（窗口内全相同），输出 NaN，避免除零。
• 跨日恢复：
  • 可落地保存窗口内容或统计量快照；
  • 开盘时从快照恢复，拼接昨日尾部数据，避免冷启动。

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