ETF 期权隐含波动率曲面计算方法文档

朱陈毓 2025.04.30

1 隐含波动率计算公式

ETF 期权的价格公式可以由 Black-76 公式得到：

\begin{equation} C = e^{-rT}\left( F\cdot N(d_1) - K\cdot N(d_2) \right) \end{equation}

其中：

$C$ 为看涨期权的价格
$r$ 为无风险利率
$T$ 为距离到期的剩余时间
$N(\cdot)$ 为标准正态分布的累计概率密度 (cdf) 函数
$K$ 为看涨期权的行权价
$F$ 为 ETF 的远期价格

$d_1, d_2$ 的定义为：

\begin{equation} d_1 = \frac{\log F/K +\frac{\sigma^2 T}{2}}{\sigma\sqrt{T}}, d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \end{equation}

其中：

$\sigma$ 为看涨期权的隐含波动率

对于行权价 $K$ 与剩余时间 $T$ 相同的看涨期权价格 $C$ 和看跌期权价格 $P$ ，有 put-call parity 成立：

\begin{equation} C - P = e^{-rT}(F - K) \end{equation}

ETF 的远期价格 $F$ 定义为：

\begin{equation} F = S e^{(r-q) T} \end{equation}

其中：

$q$ 为 ETF 的隐含持有成本
$S$ 为 ETF 的价格

将公式.(3) 和公式.(4) 联立可以得到 $q$ 的计算公式为：

\begin{equation} q = \frac{ \log \frac{S}{(C-P) + K e^{-rT}}}{T} \end{equation}

2 ETF隐含波动率曲面计算步骤

在完成步骤 1 后，对于同一个到期日，每10s选取一个期权数据切片，每个时间切片上有 $M$ 个行权价 $K_1,K_2,..K_M$ 的看涨和看跌期权对，我们会得到看涨和看跌期权一共 $(2\times M)$ 个隐含波动率数据点 $\sigma$ ：

\begin{equation} \sigma= \begin{bmatrix} \sigma_{C1} & \sigma_{C2} & ... & \sigma_{CM} \\ \sigma_{P1} & \sigma_{P2} & ... & \sigma_{PM} \\ \end{bmatrix} \end{equation}

t 时刻的波动率曲面的计算步骤如下：

计算期权当前时间的各行权价所对应的 $(1\times M)$ 个 Moneyness, ForwardMoneyness 和 LogForwardMoneyness ：

\text{Moneyness} = \text{ETFPrice}/K\\ \text{ForwardMoneyness} = \text{ETFForwardPrice}/K\\ \text{LogForwardMoneyness} = \log(\text{ForwardMoneyness})

对于看涨期权，选取 ForwardMoneyness >= 1-MoneynessCutoff 的隐含波动率，对于看跌期权，选取 ForwardMoneyness <= 1+MoneynessCutoff 的隐含波动率，并将 FwdMoneyness 有交叉的数据点加权平均得到 $(1\times M)$ 个隐含波动率数据点：

\begin{equation} \begin{aligned} \text{ImpliedVol} = [ \underbrace{ \sigma_{P1}, \sigma_{P2},...\sigma_{Pj}}_{\text{LogForwardMoneyness} \leq 1-\text{CurOff}}, \underbrace{\sigma_{B{j+1}},\sigma_{B{j+2}}, ...\sigma_{B_{i+i}}}_ { \sigma_B = \sigma_C\frac{\text{FwdMoneyness}^4}{1+\text{FwdMoneyness}^4}+\sigma_P\frac{1}{1+\text{FwdMoneyness}^4} }, \underbrace{\sigma_{C{j+i+1}},\sigma_{C{j+i+2}}, ...\sigma_{C_{j+M}}}_{\text{LogForwardMoneyness} \geq 1+\text{CurOff}} ] \end{aligned} \end{equation}

重复步骤1-2，得到每一个时间点上的 Moneyness, Forwardmoneyness, LogForwardMoneyness 和 ImpliedVol
计算每一个数据点的拟合的 Weight：

\text{Weight} = n\left(\frac{1/\text{ForawrdMoneyness}+\frac{1}{2}\sigma_{in}^2\text{Tenor}_{in}}{\sigma_i\sqrt{\text{Tenor}_{in}}}\right)

其中：

$n(\cdot)$ 为标准正态分布的概率密度函数
$\sigma_{in}$ 取 min(ImpliedVol)*1.1
$\text{Tenor}_{in}$ 取 20.0 天

计算完 Weight 后需要将 Weight 归一化：

Weight = Weight / sum(Weight)

调用 QE_SVI.py 中的 CalibrateSVI() 函数，得到当前到期日的隐含波动率曲线拟合参数:

LB_Sigma_Init = 1e-3
UB_Sigma_Init = 20
SVIPar, Resid, ATMVol = CalibrateSVI(Moneyness, ImpliedVol, R, yield_rt, Tenor, Weight, TargetRes = 1e-4,  Method='SQP')

对每一个到期日，重复步骤1-5

注意

CalibrateSVI() 进行了版本更新，需要使用最新版的API
更新前的 API 调用格式为

def CalibrateSVI( Moneyness, ImpVol, R, Q, T, Weights, TargetRes = 1e-4, Method = 'SQP' ):
    ...

更新后的 API 在 Method 后新增了两个输入变量 InitialPar 和 grad_tol，但设有默认值，请勿更改：

def CalibrateSVI(Moneyness, ImpVol, R, Q, T, Weights, TargetRes = 1e-4,  Method='SQP',
    InitialPar=(1e-6, 1e-4, 0.0, 0.0, NP.sqrt(LB_Sigma_Init * UB_Sigma_Init)),
    grad_tol=1e-16)

因此在调用该函数时仍然可以保持原来的格式不变：

# 保持原来的调用格式
SVIPar, Resid, ATMVol = CalibrateSVI( Moneyness, ImpVol, R, Q, T, Weights, TargetRes = 1e-4, 
  Method = 'SQP' )

错误处理

计算隐含波动率时，筛掉无法计算的行权价：

idxCalc = ( ~NP.isnan(ETFForwardPrice) & \ # ETFForwardPrice 不为 nan
            ~NP.isnan(OptionForwardPrice) & \ # OptionForwardPrice 不为 nan
            ~NP.isnan(Tenor) & \ # Tenor is not nan
            # OptionForwardPrice 大于期权内在价值
            (OptionForwardPrice > NP.maximum( Optiontype * ( UnderlyingForwardPrice_rt - K ), 0 )) & \
            # OptionForwradPrice 大于 ETFForwradPrice
            (ETFForwardPrice > OptionForwardPrice)
           )
    # 看涨期权 Optiontype == 1
    # 看跌期权 Optiontype == 1

调用CalibrateSVI()之前，检查 Moneyness, ImpliedVol, R, yield_rt, Tenor, Weight，如果这些 Input 数据存在 nan 值，则计算失败
若 CalibrateSVI() 返回的 Resid 为 inf/-inf/nan ，或者 SVIPar,ATMVol 中有 nan/inf/-inf 值，则说明波动率曲面计算失败，此时再调用一次 CalibrateSVI() 重新计算，保持其他输入变量不变，改用 Method='NL'

1 隐含波动率计算公式​

2 ETF隐含波动率曲面计算步骤​

错误处理​

1 隐含波动率计算公式

2 ETF隐含波动率曲面计算步骤

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